Pascal Üçgeni

PASKAL ÜÇGENİ  

ve 

ÖZELLİKLERİ

İsmini Fransız matematikçi Blaise Pascal'dan alan Pascal üçgeninin kümeler, kombinasyon, olasılık ve binom açılımı gibi farklı konularda uygulamaları vardır.

Pascal üçgeninin ilk satırında bir kutu bulunur ve sonraki satırlarda kutu sayısı birer artarak ilerler.

Pascal üçgenini oluşturmak için ilk satırdaki kutuya 1 yazılır. Sonraki her satırın ilk ve son kutularına 1, aralarındaki her kutuya da kutunun üst kenarına komşu iki kutudaki sayıların toplamı yazılır.

• En dıştaki köşegen 1 sayısından oluşur.
• Onun bir içindeki köşegen sayma sayılarından oluşur (1,2,3,4,…).
• Onun bir içindeki köşegen üçgensel sayılardan oluşur (1,3,6,10,…).

Pascal üçgeninin köşegenleri

Pascal üçgeni ortasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir, yani üçgen bu doğru etrafında katlandığında üst üste gelen kutular aynı sayıları içerir.

Pascal üçgeninin simetrisi

Pascal üçgeninin ilk satırı dışında herhangi bir satırında 1. 3. 5. vb. (yeşil) kutulardaki sayıların toplamı 2. 4. 6. vb. (gri) kutulardaki sayıların toplamına eşit olur.

Pascal üçgenininde tek ve çift numaralı kutular

Pascal üçgeninin . satırındaki sayılar soldan sağa tek bir sayı gibi okunduğunda 11'in n. kuvvetini verir.n =5'ten itibaren kutular iki ya da daha çok basamaklı sayılar içerebildiği için, bir kutudaki sayının birler basamağı dışındaki basamaklarındaki sayı soldaki kutudaki sayıya eklenerek ilerlenir.

Pascal üçgeni ve 11'in kuvvetleri

Pascal üçgeninin diğer bir özelliği satırlarındaki sayıların toplamının 2'nin kuvvetlerini vermesidir. Bunun doğruluğunu binom açılımında x ve y yerine 1 koyarak görebilirsiniz. Ayrıca satırlardaki sayıları yan yana tek bir sayı gibi okursanız 11'in kuvvetlerini bulursunuz. Bunun doğruluğu ise binom açılımında x=1, y=10 yazılarak görülebilir. Örneğin üçüncü satırdaki 1, 2, 1 sayıları bir araya getirildiğinde 11'in ikinci kuvveti olan 121 sayısını verir. Dördüncü satırdaki sayıların bir araya getirilmesi ile elde edilen 1331 sayısı ise 11'in üçüncü kuvvetidir. Katsayıların tek basamaklı olmadığı durumlar ise biraz daha karmaşıktır, fakat bu durumlarda da ufak bir çaba ile 11'in kuvvetleri bulunabilir.

Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri (x+y)ⁿ.

Matematiksel işlemlerde çok sık karşılaşılan ifadelerden biri (x+y)ⁿ. 

Genellikle bu ifadedeki x ve y herhangi iki sayı, n ise bir tam sayıdır. Bu ifadenin eşitini bulmanın en basit yolu n tane (x+y) terimini birbiriyle çarpmaktır. Fakat n'nin büyük olduğu durumlarda bu işlemi yapmak çok uzun sürer. 

Binom açılımı olarak bilinen bir yöntem ile bu ifadenin eşiti çok daha kolay bir şekilde bulunabilir.

İfadenin eşiti açık olarak yazıldığı zaman bütün terimler a+b=n olmak üzere, x^ay^b şeklinde olacaktır. Bu terimlerin katsayılarına binom katsayıları denir. 

Genel olarak binom açılımı şu şekilde ifade edilebilir:

Bu ifadedeki katsayıların değeri (!) faktöriyel işlemi olmak üzere, şöyle bulunabilir:

Örneğin n=2 olduğu zaman binom açılımı katsayıları 1, 2 ve 1 olur. Bu (x+y)² = x² + 2xy + y² anlamına gelir. n küçük olduğu zaman ifadenin eşitini bulmak için terimleri birbiriyle çarpmak da pratik bir yol olabilir, fakat n büyük olduğu zaman binom açılımını kullanmak çok daha kolaydır. 

Üstelik binom katsayılarını hesaplamak için yukarıdaki formülü kullanmaktan çok daha pratik bir yol var. Öncelikle birinci ve sonuncu katsayıların her zaman 1 olduğuna dikkat edin. Şimdi, yan kenarları alt alta yazılmış 1'lerden oluşan bir üçgen yapın (bkz. alttaki şekil). Daha sonra her satırda yan yana bulunan iki sayının altındaki satıra ve sayıların ortasına bu sayıların toplamını yazın. 

Örneğin ikinci satırda iki tane 1 yan yana durduğu ve iki tane 1'in toplamı 2 olduğu için üçüncü satırın ortasına 2 yazın. Benzer şekilde, yukarıdan aşağıya doğru giderek üçgenin içini doldurmaya devam edin. 

Bu üçgenin her bir satırındaki sayıları incelediğiniz zaman sırasıyla belirli bir n değerine karşılık gelen tüm binom sayılarını bulacaksınız. Örneğin ikinci satırdaki 1, 1 sayıları n=1'e karşılık gelen katsayılar, dördüncü satırdaki 1, 3, 3, 1 sayıları ise n=3'e karşılık gelen katsayılardır. Pascal üçgeni olarak adlandırılan bu üçgeni kullanarak tüm binom katsayıları hesaplanabilir. Böylece binom açılımı yapmak çok kolaylaşır.

 Pascal üçgeninin pek çok ilginç özelliği var. Bunlardan biri Pascal üçgeninin simetrik olmasıdır. Üçgenin ortasına dikey bir simetri ekseni çizerseniz, bu simetriyi kolayca görebilirsiniz. Örneğin beşinci satırdaki 4'ler, altıncı satırdaki 10'lar ve yedinci satırdaki 15'ler bu eksene göre simetriktir.

Pascal üçgenini kullanarak Fibonacci sayıları da bulunabilir. Fibonacci serisi ilk iki terimi 1 olan bir seridir. Bu serinin elemanları olan Fibonacci sayıları ise kendinden önceki iki sayının toplamına eşittir. Örneğin bu serinin ilk birkaç elemanı şunlardır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Bu serideki 8 sayısı kendinden önceki iki sayının (3 ve 5) toplamıdır. Aynı şekilde 34 sayısı da 13'ün ve 21'in toplamıdır. Pascal üçgeninden aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi diyagonal parçalar alırsanız, her parçadaki sayıların toplamının Fibonacci sayılarını verdiğini göreceksiniz.

Pascal üçgeni ve kombinasyon

Pascal üçgeninin n. satırındaki kutular n'in sırasıyla 0'dan n'e kadarki kombinasyonlarını içerir 

((

$\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=C(n,r)$).
Bir n sayısının tüm kombinasyonlarının toplamı 2

$n^{}$'e eşit olduğu için, Pascal üçgeninin $\mathrm{n.\; satırındaki\; sayıların\; toplamı }$$2^n$'e eşittir.

Üslü sayılar özelliğini göstermektedir.

Bir başka özellik Mersenne sayıları ile ilgilidir. 1'den ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir. Mersenne sayıları ise n bir tam sayı olmak üzere, 2ⁿ-1'e eşit olan sayılardır ve n bir asal sayı olduğu zaman bu sayılar da birer asal sayı olur. 

Örneğin bir asal sayı olan 3'e karşılık gelen Mersenne sayısı 2³-1=7'dir. ,Benzer şekilde 5'e karşılık gelen Mersenne sayısı 2⁵-1=31'dir. Pascal üçgenini herhangi bir satırdan böler ve yukarıda kalan üçgendeki tüm sayıları toplarsanız Mersenne sayılarını verdiğini göreceksiniz.

Pascal üçgeninin yukarıda anlatılan tüm özellikleri ve daha başkaları binom katsayılarının değerleri kullanılarak ispatlanabilir. Siz de yukarıda saydığımız özellikleri kendiniz ispatlamaya çalışabilirsiniz. Pascal üçgeni ile ilgili ilginç başka özelliklere ise aşağıdaki bağlantı adresini kullanarak ulaşabilirsiniz.

--------------------------------------------

Kaynaklar :

http://phys.org/print306750350.html

https://www.derspresso.com.tr/matematik/binom

http://bilimgenc.tubitak.gov.tr/makale/binom-acilimi-ve-pascal-ucgeni